Методические разработки:

Результат деления двух целых чисел не всегда является целым числом, например, 48 не делится на 5. В таких случаях говорят о делении с остатком.
Теорема о делении с остатком.
Для любого целого числа а и натурального числа b существует единственная пара чисел q и r таких, что a=bq+r, где q- целое, r- натуральное или нуль, причём 0≤ r<b.<br />Говорят: а при делении на b даёт остаток r.
Например: 48 при делении на 5 даёт остаток 3, т.к. 48=5⋅9+3, 0≤ 3<5, -48 при делении на 5 даёт остаток 2, т.к. -48=5⋅(-10)+2, 0≤ 2<5.
Заметим,что если число а делится на b, то r=0. Говорят: а при делении на b даёт остаток 0.
При делении целых чисел на какое-то заданное число b может получиться не более b остатков.
Так, при делении на 3 могут получиться остатки 0,1и 2, поэтому любое целое число может быть представлено в одном из следующих видов: 3k, 3k+1, 3k+2 (k-целое), при делении на 4 могут получиться остатки 0,1,2 и 3, поэтому любое целое число
может быть представлено в одном из следующих видов: 3k, 3k+1, 3k+2, 3k+3 (k∈Z).
В первом случае множество целых чисел разбивается на три, во втором — на четыре, а в общем случае — на b подмножеств, не содержащих общих элементов.
Говорят: по отношению к делимости на b множество целых чисел разбивается на b непересекающихся классов.
Рассмотрим,как работает эта идея.
Пример1. Какие остатки получатся при делении квадрата целого числа на 4?
Решение: Разобьём множество целых чисел на 4 класса: числа вида 4k (они делятся на 4), числа вида 4k+1 (они дают остаток 1), числа вида 4k+2 (они дают остаток 2) и числа вида 4k+3 (они дают остаток 3).Для каждого класса получим:
● (4k)²=16k²=4(4k²)-остаток 0;
● (4k+1)²=16k²+8k+1=4(4k²+2k)+1-остаток 1;
● (4k+2)²=16k²+16k+4=4(4k²+4k+1)-остаток 0;
● (4k+3)²=16k²+24k+9=16k²+24k+8+1=4(4k²+8k+2)+1-остаток 1.
Итак, при делении квадрата целого числа на 4 могут получиться остатки 0 или 1 ■
Пример2. Найти все числа,которые при делении на 3 дают остаток 1, а при делении на 5 дают остаток 3.
Решение: Числа,которые при делении на 5 дают остаток 3, имеют вид 5k+3, k∈Z.
Выберем из них те, которые при делении на 3 дают остаток 1.
По отношению к делимости на 3 всё множество чисел k можно разбить на три класса: числа вида 3n, 3n+1 ,3n+2. Других целых k нет.
●Если k=3n,то 5k+3=5⋅3n+3=3⋅(5n+1). Эти числа делятся на 3.
●Если k=3n+1,то 5k+3=5⋅(3n+1)+3=15n+5+3=15n+6+2=3⋅(5n+2)+2—остаток 2 при делении на 3.
●Если k=3n+2,то 5k+3=5⋅(3n+2)+3=15n+10+3=15n+12+1=3⋅(5n+4)+1—остаток 1 при
делении на 3.
Итак, условию задачи удовлетворяют числа вида 15n+13.■
Заметим,что числа,которые при делении на 3 дают остаток 1, а при делении на 5 дают остаток 3, при делении на 15 дают остаток 13.
Пример3. Доказать,что произведение трёх последовательных нечётных чисел делится на 3.
Решение: (2k-1)(2k+1)(2k+3) - произведение трёх последовательных нечётных чисел. По отношению к делимости на 3 всё множество чисел k можно разбить на три класса: числа вида 3n, 3n+1 ,3n+2. Других целых k нет.
●Если k=3n,то (2k-1)(2k+1)(2k+3) делится на 3, т.к. (2k+3)=6n+3;
●Если k=3n+1,то (2k-1)(2k+1)(2k+3) делится на 3, т.к. (2k+1)=6n+3;
●Если k=3n+2,то (2k-1)(2k+1)(2k+3) делится на 3, т.к. (2k-1)=6n+3;
Итак,произведение трёх последовательных нечётных чисел делится на 3.■
УПРАЖНЕНИЯ
1. Из данных пар чисел выберите те, которые при делении на 5 дают равные остатки:
а) 176 и131; b) 78 и 33; c) 72 и -23; d) -61 и -87.
2. Докажите, что:
a) n²-1 делится на 8, если делится на 2;
b) n³-9n делится на 162,если делится на 3;
c) n⁵-5n³+4n делится на 120 при любом целом n;
d) n⁸+3n⁴-4 делится на 100,если n не кратно 5.
e) 7n − 5n делится на 24;
f) 21n + 4n+2 делится на 17;
g) 5n + 8n − 2n+1 делится на 3;
h) 1+ 3n + 5n + 7n делится на 4 при любом целом n.
3. Какие остатки получатся при делении квадрата целого числа а)на 3? b) на5?
4. Число а при делении на 7 даёт остаток 2. Какой остаток получится при делении на 7 числа
а) 8а+1; b) a²+а+1?
5.Докажите, что:
a) если целое число m при делении на 6 даёт остаток 1, то число m²-2m+19 делится на 18;
b) если целое число m при делении на 8 даёт остаток 2, то число m²+4m-12 делится на 64.
6.Докажите, что:
a) если целое число а не делится на 5,то а⁴-1 делится на 5;
b) если целое число а не делится на 7,то а⁶-1 делится на 7.
7.При делении на 7 число m даёт остаток 1, число n даёт остаток 3, а число p даёт остаток 2. Докажите, что 12m+11n+2p делится на 7.
8. Найти все числа,которые при делении на 5 дают остаток 1, а при делении на 6 дают остаток 2.
9. Докажите, что квадрат любого простого числа, большего 3, при делении на 12 даёт остаток 1.
СВОЙСТВА ОСТАТКОВ.
(✽) Числа а и b дают при делении на n равные остатки тогда и только тогда, когда разность a-b делится на n.
Справедливость этого утверждения следует из того, что в разности а-b равные остатки взаимно уничтожаются, а различные - нет.
Данное утверждение позволяет доказать следующие свойства остатков:
Если числа а и b дают при делении на n равные остатки и числа с и d дают при делении на n равные остатки, то равные остатки получатся при делении на n чисел
1) а+с и b+d;
2) ас и bd.
Доказательство: В соответствии с положением (✽) найдём разность
1) (а+с)-(b+d)=(а-b)+(c-d).
2) ас-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)
Здесь (а-b) и (c-d) делятся на n,т.к. по условию пары а и b, с и d дают при делении на n равные остатки (см. (✽)!),значит обе разности делятся на n
Полезное следствие свойства 2):
Если числа а и b дают при делении на n равные остатки,то любые их натуральные степени дают при делении на n равные остатки.
Рассмотрим, как можно применять эти свойства при решении задач.
Пример 1. Найти остаток от деления числа 1763 на 14.
Решение: 17-3 делится на 14, значит (по ✽)17 и 3 дают при делении на 14 равные остатки. По следствию свойства 2) их шестьдесят третьи степени тоже дают при делении на 17 равные остатки.
Чтобы найти остаток от деления числа 363 на 14, заметим, что 3³-(-1) делится на 14, значит (3³)²¹ и (-1)²¹ тоже дают при делении на 14 равные остатки. Но (-1)²¹=-1, а (-1) при делении на 14 даёт остаток 13 (т.к. -1=14⋅(-1)+13, 0≤13<14), значит искомый остаток равен 13.■
Пример 2. Найти какие остатки могут получиться при делении на 5 шестой степени числа.
Решение: По теореме о делении с остатком любое число можно представить в виде а=5q+r, где 0≤r<5
Отсюда a-r=5q, т.е. разность a-r делится на 5. В соответствии с (✽) числа а и r дают при делении на 5 равные остатки, значит (по следствию) а⁶ и r⁶ тоже дают при делении на 5 равные остатки. Но r∈{0,1,2,3,4}, значит задача сводится к тому, чтобы определить, какие остатки могут получиться при делении на 5 шестой степени чисел 0⁶,1⁶,2⁶,3⁶,4⁶, что не есть большая трудность.
0⁶=0; 1⁶=1; 2⁶=64=60+4; 3⁶=729=725+1; 4⁶=4096=4095+1.
Итак, при делении на 5 шестой степени числа могут получиться остатки 0,1,4.
Пример 3. Выяснить,делится ли 3¹⁹⁹⁸+2¹⁹⁹⁸ на 13.
Решение: Будем использовать идею равноостаточности,подбирая второе число так, чтобы его легко было возводить в степень.
●27 и 1 дают при делении на 13 равные остатки, значит любые их степени тоже,т.е. 27⁶⁶⁶и 1⁶⁶⁶ дают при делении на 13 равные остатки. но 27⁶⁶⁶=(3³)⁶⁶⁶=3¹⁹⁹⁸, а 1⁶⁶⁶=1, значит 3¹⁹⁹⁸ при делении на 13 даёт остаток 1. 3¹⁹⁹⁸=13q+1
●Рассмотрим степени числа 2,помня, что второе число ±1. 65 делится на 13,64=2⁶.
64 и -1 дают при делении на 13 равные остатки, значит любые их степени тоже,т.е. 64¹³³и(-1)¹³³ дают при делении на 13 равные остатки. 64¹³³=(2⁶)¹³³=2¹⁹⁹⁸,(-1)¹³³=-1.
Число -1 при делении на 13 даёт остаток 12, значит 2¹⁹⁹⁸ при делении на 13 даёт остаток 12. 2¹⁹⁹⁸=13k+12
Итак, 3¹⁹⁹⁸+2¹⁹⁹⁸=13q+1)+(13k+12)=13(q+k)+13. Вывод :3¹⁹⁹⁸+2¹⁹⁹⁸ делится на 13.■
УПРАЖНЕНИЯ
1.Из данных пар выберите те, которые при делении на 5 дают равные остатки:
а) 867 и 522; b) -72 и-26; с)-101и 14; d)-13 и 22.
2.Известно, что число а) 73-с; b) -73-с; с) с-73; d)73+с делится на 4. Какой остаток при делении на 4 даёт число с?
3.Найдите остаток от деления:
a) 3¹⁴⁴ на 8; b) 2⁷² на 9; c) 5⁴⁸ на 6; d) 3²⁵⁸ на 13; e)3¹⁷на 10; f) 7⁴на 5; g) 3²¹ на 13.
4.Докажите,что:
a) 3¹⁸+1 делится на 10;
b) 7⁵+8 делится на 5;
c) 76⁸+9⁴+3 делится на 10;
d) 3¹⁶+3¹³+1 делится на 5;
e) 3¹⁶⁴-1 делится на 10.
5.Выясните, делится ли:
a) 13¹⁶-2¹⁶ на 3;
b) 3¹⁶-2¹⁶ на 5;
c) 3¹⁶²+2¹⁰²-1 на 8;
d) 7¹⁰⁶+2⁹³-2 на 8
e) сумма цифр числа а=2¹⁸+3¹⁷на 9.

1. Понятие делимости.
Результат сложения, вычитания и умножения целых чисел всегда является целым числом, т.е. на множестве целых чисел  выполнимы операции сложения, вычитания и умножения. Иначе обстоит дело с делением: во множестве целых чисел деление
выполнимо не всегда, т.е. частное двух целых чисел может не быть целым числом.
Определение. Целое число a делится на целое число b, не равное нулю, если существует целое число k такое, что а=k⋅b.
Например, 48 делится на 8, т.к. существует целое число 6 такое,что 48=6⋅8.
Вместо „а делится на b” говорят также „а кратно b”, „b делитель а”, „число a - кратное числа b”,а кратко пишут а⠇b.
Следует заметить,что понятие делимости относится только к целым числам, в частности, к натуральным, поэтому в дальнейшем,говоря о делимости, будем употреблять слово „число”, подразумевая при этом целое число.
2.Свойства делимости.
I. Всякое число, отличное от нуля, делится на себя.
II. Нуль делится на любое число, не равное нулю.
III. Если а делится на b и b делится на c, то а делится на с (b≠0, c≠0).
IV. Если а делится на b и b делится на а, то числа а и b либо равны, либо противоположны (b≠0,а≠0).
Каждое свойство нужно доказать. Рассмотрим, как можно доказать третье свойство - транзитивность делимости.
●Так как а делится на b, то по определению делимости а=kb. Так как b делится на c, то по определению делимости b=mc. Отсюда а=k(mc)=(km)c.
Число km- целое, значит, по определению делимости, а делится на c ■
Оставим другие свойства для самостоятельного доказательства и рассмотрим,как применить их при решении задач.
Пример 1. Докажите, что если число с делится на 12, то оно делится на 6.
Решение: число с делится на 12, 12 делится на 6, тогда (по cвойству |||) число c делится на 6.■
Пример 2. Докажите, что сумма пяти последовательных степеней числа 3 делится на 121.
Решение: 3n + 3n+1 + 3n+2 + 3n+3 + 3n+4 =3n (1+ 3+ 9 + 27 + 81) = 121⋅ 3n ■
Пример 3. Докажите, что 9²+3⁵+27² делится на 39.
Решение: 9²+3⁵+27²=(3²)²+3⁵+(3³)²=3⁴+3⁵+3⁶=3⁴(1+3+3²)=3³⋅(3⋅13)=3³⋅39, значит, по
определению делимости, число 9²+3⁵+27² делится на 39 ■
Пример 4. Докажите, что число ab − ba делится на 9.
Решение: ab − ba = (10a + b) − (10b + a) = 9a + 9b = 9(a + b) ■
3. Делимость суммы и произведения.
V. Если в сумме каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.
Доказательство: пусть целые числа a,b,c делятся на целое число m, тогда a=k₁m, b=k₂m, c=k₃m , где k₁,k₂,k₃ -целые числа (по определению). Тогда a+b+c=k₁m+k₂m+k₃m=m(k₁+k₂+k₃).
Поскольку k₁+k₂+k₃- целое число, то a+b+c делится на m.■
VI. Если два целых числа делятся на некоторое число, то и их разность делится на это число.
VII. Если в сумме все слагаемые, кроме одного,делятся на некоторое число, то сумма не делится на это число.
Доказательство: пусть a и b делятся на d, а с не делится на d. Предположим, что a+b+c делится на d, тогда в разности (a+b+c)-(a+b) уменьшаемое делится на d по предположению, а вычитаемое делится на d по свойству I, значит (по свойству ❘❘)
вся разность делится на d. Однако эта разность (раскройте скобки!) равна с и на d не делится по условию. Получено противоречие, которое и доказывает теорему.■
Vlll Если в произведении целых чисел хотя бы один множитель делится на некоторое число,то и произведение делится на это число.
IX. Если в произведении двух целых чисел один множитель делится на число m, а другой - на n,то произведение делится на число mn.
При решении задач часто используются свойства, связанные с последовательным расположением целых чисел:
✓ произведение n последовательных целых чисел делится на число n;
✓ произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6;
✓ произведение двух последовательных чётных целых чисел делится на 8.
Рассмотрим,как применяются свойства I-IX и следствия из них при решении различных задач связанных с делимостью.
Пример 1. Докажем, что 2⁸+4⁵+8² делится на 28.
Решение: 2⁸+4⁵+8²=2⁸+(2¹⁰)+(2⁶)=2⁶(2²+2⁴+1)=2⁶⋅21.
В произведении 2⁶⋅21 первый множитель делится на 4, второй на7, значит всё произведение (а значит и данное выражение) делится на 4⋅7=28 (по свойству IX)■
Пример 2. Докажем, что разность квадратов двух целых нечётных чисел делится на 8.
Решение: Пусть 2m+1, 2n+1 — два нечётных числа. Тогда их разность квадратов (2m+1)²-(2n+1)²
(2m+1)²-(2n+1)²=(2m+1-2n-1)(2m+1+2n-1)=4(m-n)(m+n-1).
Если m и n одинаковой чётности, то m-n чётное,а если числа m и n различной чётности, то m+n-1 чётное, т.е. в произведении первый множитель делится на 4, второй или третий-на 2, значит всё произведение (а значит и данное выражение) делится на 4⋅2=8 (по свойству XlV).■
Пример 3. Выясним, есть ли на графике уравнения 15x+25y=114 точки, координаты которых - целые числа.
Решение: Пусть точка М(а;b) принадлежит графику, a∈Z, b∈Z. Тогда верным является равенство 15а+25b=114, левая часть которого делится на 5, а правая - нет.
Это означает, что на графике уравнения 15x+25y=114 нет точек, координаты которых - целые числа.■
Пример 4. Докажем, что если разность a-b двух целых чисел делится на 3, то разность их кубов a³-b³ делится на 9.
Решение: a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)=(a-b)(a²+ab+b²-2ab+2ab)=(a-b)((a-b)²+3ab).
В этом произведении первый множитель (a-b) делится на 3 по условию, второй — ((a-b)²+3ab) — по свойству V, тогда произведение (а значит и a³-b³) делится на 3⠂3=9 (по свойству IX).■
Пример 5. Докажем, что число а=m³+26m+15 кратно 3 при любом целом m.
Решение: Прибавим к числу а число m и вычтем из него число m. Число а при этом не изменится, но полученное выражение позволит применить свойства делимости.
m³+26m+15=m³+26m+m+15-m=(m³-m)+(27m+15)
Это сумма делится на 3, т.к. (m³-m)=(m-1)m(m+1) - кратно 3 как произведение трёх последовательных чисел и (27m+15) делится на 3(по свойству V).
4. Простые и составные числа.
Напомним: простым называют такое натуральное число,которое делится только на себя и на 1; составным называют такое натуральное число,которое имеет более двух натуральных делителей; число 1 не относится ни к простым, ни к составным.
Последовательность простых чисел, взятых в порядке возрастания, начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ... .
ТЕОРЕМА. Множество простых чисел бесконечно.
Доказательство. Пусть р - наибольшее простое число. Рассмотрим тогда число n, полученное как сумма числа 1 и произведения всех простых чисел n=2⋅3⋅5⋅...⋅р+1.
● n>р, значит оно не является простым (р - наибольшее по предположению),
● n не делится ни на одно из простых чисел значит оно не является составным,
● n≠1
Мы получили противоречие, которое и доказывает теорему.■
ТЕОРЕМА. Каждое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых множителей, причём единственным(с точностью до порядка множителей) образом.
Например: 48=2⁴⋅3, 56=2³⋅7, 111=3⋅37, 1001=7⋅11⋅13
Взаимно простыми называют числа, единственным общим натуральным делителем которых является число 1.
Например: 48 и 111 - взаимно простые, а 48 и 56 - нет.
Эти знания позволяют нам ввести следующие свойства делимости:
✓ Если число а делится на каждое из взаимно простых чисел b и с, то оно делится
и на их произведение.
✓ Если произведение аb делится на число с, причём числа а и с взаимно просты, то
b делится на с.
Рассмотрим примеры решения задач.
Пример 1. Докажите, что число а=n(n+1)²(n+2) делится на 12 при любом целом n.
Решение: а=n(n+1)²(n+2)=n(n+1)(n+1)(n+2). В этом произведении n(n+1) и (n+1)(n+2) делятся на 2, значит число а делится на 4 . Кроме того, произведение n(n+1)(n+2) делится на 3. Т.к. числа 4 и 3 взаимно просты, то число а делится на 4⋅3 т.е.на 12. ■
Пример 2. Докажите, что число a=n⁵-5n³+4n кратно 120 (∀n∈N).
Решение: а=n⁵-5n³+4n=n(n⁴-5n²+4)=n(n²-1)(n²-4)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)-произведение пяти последовательных чисел. Это означает, что а делится на 5. Осталось доказать, что а делится на 24.
❶ При чётном n=2k a=2k(2k+1)(2k-1)(2k-2)(2k+2)=8k(k-1)(k+1)(2k-1)(2k+1) — делится на 24( даже на 48, т.к.k(k-1)(k+1) произведение трёх последовательных чисел, а оно делится на 6).
❷ При нечётном n=2k+1 a=(2k+1)(2k)(2k+2)(2k-1)(2k+3)=4k(k+1)(2k-1)(2k+1)(2k+3).
Т.к. k(k+1) делится на 2, (2k-1)(2k+1)(2k+3) делится на 3 (почему?), значит а делится на 24.Поскольку числа 24 и 5 взаимно просты,то а кратно 120 ■
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Докажите, что:
а) 3¹⁵²+3¹⁵³+3¹⁵⁵ делится на 31;
b) ab + ba делится на 11;
c) 25²-5²-125 делится на 95;
d) 6⁵-36²+216 делится на 93.
2. Докажите, что число mn(m+n) чётное при любых целых m и n.
3. Докажите, что если сумма a+b двух целых чисел делится на 6, то сумма их кубов a³+b³ также делится на 6.
4. Докажите, что
a) 1³+2³+...+99³ делится на 100;
b) 1³+2³+...+49³ делится на 25.
5. Докажите, что ab(a²-b²) делится на 6 при любых целых a и b.
6. Докажите, что
a) 2⁹+1 делится на 9;
b) 3⁹-1 делится на13.
7. Докажите, что при любом целом m делится на 6 значение выражения:
a)m²+17m;
b)m²-43m;
c) m³-3m²+2m.
8. Докажите, что если a+7b делится на 17, то число 10a+2b делится на 24.
9. Имеет ли целые корни уравнение 17х⁶-51х⁴+34х²-87=0 ?
10. Выясните, есть ли на прямой
a) 32x+48y=105;
b) 13x+65y=106
точки с целочисленными координатами.
11.Найдите все целые значения m, при которых корень уравнения
mx-2x=m²+2 является целым числом.
12.Докажите, что четырёхзначное число, в котором цифра единиц совпадает с цифрой тысяч, а цифра десятков с цифрой сотен, делится на 11.
13. Докажите, что 2002¹⁰⁰+3003¹⁰⁰ делится на 7,на 11 и на 13.
14. Докажите, что если каждое из двух чётных чисел кратно 3, то сумма их кубов делится на 54.
15. Докажите, что если сумма ab+cd делится на a-b, то сумма ad+bc также делится на a-b.
16. Докажите, что если a и b - трёхзначные числа, сумма которых делится на 37, то, приписав к числу а число b, мы получим шестизначное число, которое также делится на 37.
17. Докажите, что если n - простое число, то n²-1 делится на 24 при n>3.
18. Найдите все целые значения а, при которых является целым числом значение дроби

a2 + 4

a −1